Calcule:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}-3 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-3x+5\bigr)\,dx.
Trata-se de um problema de cálculo de integral de polinômio. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro encontramos uma primitiva F(x) de f(x)=x^{2}-3x+5 e depois avaliamos F(2)-F(0).

Passo 2

Para achar a primitiva de f(x)=x^{2}-3x+5, aplicamos a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Logo,
F(x) = \int \bigl(x^{2}-3x+5\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx \;-\;3\int x\,dx \;+\;5\int 1\,dx = \frac{x^{3}}{3} \;-\;\frac{3x^{2}}{2} \;+\;5x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-3x+5\bigr)\,dx = F(2)-F(0).
Calculando:
F(2) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{3\cdot2^{2}}{2} + 5\cdot2 = \frac{8}{3} - \frac{3\cdot4}{2} + 10 = \frac{8}{3} - 6 + 10 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8 + 12}{3} = \frac{20}{3},
e
F(0) = \frac{0}{3} - \frac{0}{2} + 0 = 0.

Resposta

\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}-3x+5\bigr)\,dx = \frac{20}{3}.

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