Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{\sqrt{2} / 2}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
O conteúdo aqui é a primitiva de 1/\sqrt{1-x^2}, que está ligado à função arco-seno.

Passo 2

Lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
seguimos que uma antiderivada é
\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin(x)+C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos em x=\sqrt{2}/2 e x=\sqrt{3}/2:
\int_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\bigl[\arcsin(x)\bigr]_{x=\sqrt{2}/2}^{x=\sqrt{3}/2} =\arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)-\arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr).

Passo 4

Usando valores notáveis:
\arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}, \quad \arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{4},
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\int_{\sqrt{2}/2}^{\sqrt{3}/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} =\frac{4\pi-3\pi}{12} =\frac{\pi}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{12}

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