Calcule:
\int_{-2}^{2}|1-t| d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{2} |1 - t|\,dt.
O conteúdo envolve integrar uma função valor absoluto, usando a definição piecewise de |1 - t| e dividindo o intervalo de integração no ponto em que 1 - t = 0.

Passo 2

O zero de 1 - t ocorre em t=1. Logo, escrevemos
\int_{-2}^{2} |1 - t|\,dt = \int_{-2}^{1} (1 - t)\,dt + \int_{1}^{2} (t - 1)\,dt.

Passo 3

Calcular a primeira parte:
\int_{-2}^{1} (1 - t)\,dt = \Bigl[t - \tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{-2}^{1} = \bigl(1 - \tfrac{1}{2}\bigr) - \bigl(-2 - \tfrac{4}{2}\bigr) = \tfrac{1}{2} - (-4) = \tfrac{9}{2}.

Passo 4

Calcular a segunda parte:
\int_{1}^{2} (t - 1)\,dt = \Bigl[\tfrac{t^2}{2} - t\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(2 - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{2} - 1\bigr) = 0 - (-\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Somando as duas partes:
\int_{-2}^{2} |1 - t|\,dt = \tfrac{9}{2} + \tfrac{1}{2} = 5.

Resposta

5

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