Calcule \int_{0}^{2}\left(2 x^{3}-6 x+\frac{3}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\biggl(2x^{3}-6x+\frac{3}{x^{2}+1}\biggr)\,dx
O conteúdo é: usar a linearidade da integral, a regra do polinômio ( \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1)) e a primitiva de 1/(x^{2}+1), que é \arctan(x).

Passo 2

Pela linearidade, escrevemos
\int_{0}^{2}2x^{3}\,dx \;-\;\int_{0}^{2}6x\,dx \;+\;\int_{0}^{2}\frac{3}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Calculamos as primitivas de cada termo:
\int 2x^{3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{2},\qquad \int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2},\qquad \int \frac{3}{x^{2}+1}\,dx = 3\,\arctan(x).

Passo 4

Logo, uma antiderivada comum é
F(x) = \frac{x^{4}}{2} \;-\;3x^{2} \;+\;3\,\arctan(x).
A integral definida é F(2)-F(0).

Passo 5

Calculando nos extremos:
F(2) = \frac{2^{4}}{2} - 3\cdot2^{2} + 3\,\arctan(2) = 8 - 12 + 3\,\arctan(2) = -4 + 3\,\arctan(2),
F(0) = 0 - 0 + 3\,\arctan(0) = 0.
Portanto,
\int_{0}^{2}\biggl(2x^{3}-6x+\frac{3}{x^{2}+1}\biggr)\,dx = -4 + 3\,\arctan(2).

Resposta

-4 + 3\,\arctan(2)

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