Calcule a integral utilizando substituição \int T^{4} \sqrt[3]{3-5 T^{5}} d T

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int T^{4}\,\sqrt[3]{3-5\,T^{5}}\;dT.
O conteúdo aqui é o método de substituição, pois dentro da raiz cúbica temos uma função composta que envolve T^{5}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3 - 5\,T^{5}.
Dessa forma,
du = -25\,T^{4}\,dT \quad\Longrightarrow\quad T^{4}\,dT = -\tfrac{1}{25}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int T^{4}\,\sqrt[3]{3-5\,T^{5}}\;dT = \int T^{4}\,(u)^{\frac{1}{3}}\,dT = -\tfrac{1}{25}\int u^{\frac{1}{3}}\,du.
Agora basta integrar em u:
-\tfrac{1}{25}\int u^{\frac{1}{3}}\,du = -\tfrac{1}{25}\,\frac{u^{\frac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} = -\tfrac{3}{100}\,u^{\frac{4}{3}} + C.

Resposta

-\,\tfrac{3}{100}\,\bigl(3 - 5\,T^{5}\bigr)^{\tfrac{4}{3}} + C.

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