Calcule.
\int_{1}^{2}\left(x^{3}+x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

Bora calcular a integral
\int_{1}^{2}\bigl(x^{3} + x + x^{-3}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é aplicação da regra de potência, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva F(x) integrando termo a termo:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.
Logo, podemos escolher
F(x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}}.

Passo 3

Agora avalia em x=2:
F(2) = \frac{2^{4}}{4} + \frac{2^{2}}{2} - \frac{1}{2\cdot 2^{2}} = 4 + 2 - \frac{1}{8} = \frac{47}{8}.

Passo 4

Em seguida, avalia em x=1:
F(1) = \frac{1^{4}}{4} + \frac{1^{2}}{2} - \frac{1}{2\cdot1^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Passo 5

Pelo teorema fundamental do cálculo,
\int_{1}^{2}\bigl(x^{3} + x + x^{-3}\bigr)\,dx = F(2) - F(1) = \frac{47}{8} - \frac{1}{4} = \frac{45}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{45}{8}

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