Questão 2. Sejam A=\left\{x \in \mathbb{Z}:|x|^{2}-3|x|+2=0\right\} e B=\left\{x \in \mathbb{Z}: x^{2}-2 x \leq 0\right\}. Liste os elementos de
a) A
b) B
c) \quad A \cap B
d) \quad A^{C}
e) \quad A^{C} \cup B

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos em \mathbb{Z}: A=\{x\in\mathbb{Z} : |x|^{2}-3|x|+2=0\} e B=\{x\in\mathbb{Z} : x^{2}-2x\le0\}.
Queremos listar A e B e depois calcular A\cap B, A^{C} (complemento de A em \mathbb{Z}) e A^{C}\cup B. Para isso, primeiro resolvemos a equação em |x| para A, depois a inequação quadrática para B, e então aplicamos as operações de conjuntos.

Passo 2

Para achar A, definimos t=|x|. A equação em A fica
t^{2}-3t+2=0.
As raízes dessa equação quadrática são
t=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}\;=\;1\quad\text{e}\quad2.

Passo 3

Como t=|x| só pode valer 1 ou 2, concluímos
|x|=1\implies x=\pm1, \qquad |x|=2\implies x=\pm2.
Portanto
A=\{-2,\,-1,\,1,\,2\}.

Passo 4

Para achar B, analisamos
x^{2}-2x\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-2)\le0.
O produto x(x-2) é não positivo quando x está entre as raízes 0 e 2, inclusive. Como x\in\mathbb{Z}, isso dá
B=\{0,\,1,\,2\}.

Passo 5

O conjunto A\cap B são os elementos que estão em ambos. De \{-2,-1,1,2\}\cap\{0,1,2\} sobra
A\cap B=\{1,\,2\}.

Passo 6

O complemento de A em \mathbb{Z} é
A^{C}=\mathbb{Z}\setminus\{-2,-1,1,2\},
isto é, todos os inteiros exceto -2,-1,1,2.

Passo 7

Finalmente,
A^{C}\cup B =\bigl(\mathbb{Z}\setminus\{-2,-1,1,2\}\bigr)\;\cup\;\{0,1,2\} =\mathbb{Z}\setminus\{-2,-1\},
pois o único “furo” que permanece excluído é -2 e -1.

Resposta

a) A=\{-2,\,-1,\,1,\,2\}
b) B=\{0,\,1,\,2\}
c) A\cap B=\{1,\,2\}
d) A^{C}=\mathbb{Z}\setminus\{-2,-1,1,2\}
e) A^{C}\cup B=\mathbb{Z}\setminus\{-2,-1\}

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