Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto de todos (x, y) tais que x^{2}-4 \leq y \leq 0.

Passo 1

O enunciado define o conjunto A como todos os pontos (x,y) que satisfazem
x^{2}-4 \le y \le 0.
O objetivo é esboçar essa região no plano e calcular sua área. Vamos usar integração de funções para área entre curvas.

Passo 2

Primeiro identificamos as curvas que limitam A. A curva inferior é
y = x^{2}-4
e a curva superior é o eixo x, isto é
y = 0.
Para encontrar onde elas se cruzam, resolvemos
x^{2}-4 = 0
que dá
x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x = -2,\;2.
Logo, horizontalmente A vai de x=-2 até x=2.

Passo 3

O esboço da região é este: a parábola y=x^{2}-4 aberta para cima, deslocada 4 unidades abaixo da origem, intercepta o eixo x em (-2,0) e (2,0). A região A é o “ás” entre essa parábola e o eixo x, completamente abaixo do eixo.

Passo 4

Para calcular a área, subtraímos as ordenadas da curva inferior das da curva superior e integramos em x de -2 a 2. Assim,
\text{área}(A) =\int_{x=-2}^{2}\bigl[\,0 - \bigl(x^{2}-4\bigr)\bigr]\,dx =\int_{-2}^{2}\bigl(4 - x^{2}\bigr)\,dx.á

Passo 5

Vamos calcular
\int_{-2}^{2}(4 - x^{2})\,dx.
Uma primitiva é
F(x)=4x - \frac{x^{3}}{3}.
Então
\int_{-2}^{2}(4 - x^{2})\,dx =F(2)-F(-2) =\Bigl(8 - \tfrac{8}{3}\Bigr)-\Bigl(-8 + \tfrac{8}{3}\Bigr) =16 - \tfrac{16}{3} =\tfrac{32}{3}.

Resposta

A área do conjunto A é \displaystyle \frac{32}{3} unidades quadradas.

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