Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(x y+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(xy + y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
Isso envolve o Teorema de Fubini (podemos trocar a ordem de integração) e cálculo de integrais simples em duas etapas: primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Vamos usar Fubini para escrever
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(xy + y^{2}\bigr)\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{0}^{1}(xy + y^{2})\,dy\Bigr]dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1}(xy + y^{2})\,dy =\int_{0}^{1}xy\,dy + \int_{0}^{1}y^{2}\,dy.
Como x é constante em relação a y,
\int_{0}^{1}xy\,dy =x\int_{0}^{1}y\,dy =x\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{x}{2},
\int_{0}^{1}y^{2}\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.
Logo a integral interna vale
\frac{x}{2} + \frac{1}{3}.

Passo 4

Agora integramos esse resultado em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x}{2} + \frac{1}{3}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\frac{x}{2}\,dx + \int_{0}^{1}\frac{1}{3}\,dx.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}\frac{x}{2}\,dx =\Bigl[\frac{x^{2}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{4},
\int_{0}^{1}\frac{1}{3}\,dx =\frac{1}{3}\Bigl[x\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}.
Somando,
\frac{1}{4} + \frac{1}{3} =\frac{3}{12} + \frac{4}{12} =\frac{7}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{12}

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