Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(y^{2}+x\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\bigl(y^{2}+x\bigr)\,dy\,dx
O conteúdo aqui é integração iterada (teorema de Fubini): primeiro integramos em y para obter uma função de x, depois integramos em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{x}\bigl(y^{2}+x\bigr)\,dy =\int_{0}^{x}y^{2}\,dy +x\int_{0}^{x}1\,dy =\frac{x^{3}}{3}+x\cdot x =\frac{x^{3}}{3}+x^{2}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}\,dx +\int_{0}^{1}x^{2}\,dx =\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} +\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{12}+\frac{1}{3} =\frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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