Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(e^{x}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\bigl(e^{x}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é integração iterada em duas variáveis (Teorema de Fubini aplicado a função contínua) e, na sequência, uso da regra de potência e integração por partes para funções de uma variável.

Passo 2

Primeiro fazemos a integral interna em y, tratando e^{x} como constante em relação a y:
\int_{0}^{x}\bigl(e^{x}+y^{2}\bigr)\,dy = \int_{0}^{x}e^{x}\,dy \;+\;\int_{0}^{x}y^{2}\,dy = e^{x}\,x \;+\;\frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Agora substituímos na integral externa e separamos em duas parcelas:
\int_{0}^{1}\biggl(x\,e^{x}+\frac{x^{3}}{3}\biggr)\,dx = \int_{0}^{1}x\,e^{x}\,dx \;+\;\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^{3}\,dx.
Para \displaystyle\int_{0}^{1}x\,e^{x}\,dx usamos integração por partes com u=x, dv=e^{x}dx, obtendo
\int_{0}^{1}x\,e^{x}\,dx =\bigl.x\,e^{x}\bigr|_{0}^{1} -\int_{0}^{1}e^{x}\,dx = \bigl(e-0\bigr)-\bigl(e-1\bigr) =1.
E para \displaystyle\int_{0}^{1}x^{3}\,dx aplicamos a regra de potência:
\int_{0}^{1}x^{3}\,dx =\biggl[\frac{x^{4}}{4}\biggr]_{0}^{1} =\frac{1}{4}.

Passo 4

Somando os resultados, temos
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\bigl(e^{x}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx =1 + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} =1 + \frac{1}{12} =\frac{13}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{12}

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