Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
y^{\prime}=\frac{y x}{1+x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{y\,x}{1+x^{2}}
usando o método de separação de variáveis. Vamos reconhecer que essa EDO é separável, ou seja, podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Escrevemos a derivada como \frac{dy}{dx} e separamos as variáveis:
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^{2}}\,y
Divide ambos os lados por y e multiplica por dx:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
No lado esquerdo temos
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\bigl|y\bigr| + C_{1},
e no direito podemos usar a substituição u = 1+x^{2}, du = 2x\,dx, logo
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{u} = \frac12 \ln\bigl|u\bigr| + C_{2} = \frac12 \ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C_{2}.

Passo 4

Juntando as integrais e absorvendo constantes C = C_{2}-C_{1} temos
\ln\bigl|y\bigr| = \frac12 \ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.
Exponenciando ambos os lados:
\bigl|y\bigr| = e^{C}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)^{1/2}.
Como e^{C} é uma constante positiva genérica que chamamos de K>0, e permitindo também K=0 ou K<0, escrevemos
y = C\,\sqrt{1+x^{2}},
onde C é constante arbitrária real.

Resposta

y(x) = C\,\sqrt{1+x^{2}},\quad C\in\mathbb{R}.

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