Calcule: \int_{0}^{2} \int_{0}^{x}\left(3 x^{2} y-y^{3}\right) d y d x Passo 1O enunciado quer calcular a integral iterada \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\bigl(3x^{2}y - y^{3}\bigr)\,dy\,dx. O conteúdo é integração dupla iterada em coordenadas cartesianas: vamos primeiro integrar em y (variável interna) e em seguida em x (variável externa). Passo 2Na integral interna, x é tratado como constante, então \int_{0}^{x}\bigl(3x^{2}y - y^{3}\bigr)\,dy =3x^{2}\int_{0}^{x}y\,dy \;-\;\int_{0}^{x}y^{3}\,dy. Calculamos cada parte: 3x^{2}\int_{0}^{x}y\,dy =3x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} =\frac{3}{2}x^{4}, \int_{0}^{x}y^{3}\,dy =\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{x} =\frac{x^{4}}{4}. Logo, a integral interna vale \frac{3}{2}x^{4}-\frac{1}{4}x^{4} =\frac{5}{4}x^{4}. Passo 3Agora integramos em x: \int_{0}^{2}\frac{5}{4}x^{4}\,dx =\frac{5}{4}\int_{0}^{2}x^{4}\,dx =\frac{5}{4}\cdot\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} =\frac{5}{4}\cdot\frac{2^{5}}{5} =\frac{32}{4} =8. Resposta 8 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule: \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(e^{x}+y^{2}\right) d y d x Calcule: \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(x y+y^{2}\right) d y d x Calcule: \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(x y+y^{3}\right) d y d x Calcule: \int_{0}^{2} \int_{0}^{x}(2 x+3 y) d y d x