Calcule:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x}\left(3 x^{2} y-y^{3}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado quer calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\bigl(3x^{2}y - y^{3}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo é integração dupla iterada em coordenadas cartesianas: vamos primeiro integrar em y (variável interna) e em seguida em x (variável externa).

Passo 2

Na integral interna, x é tratado como constante, então
\int_{0}^{x}\bigl(3x^{2}y - y^{3}\bigr)\,dy =3x^{2}\int_{0}^{x}y\,dy \;-\;\int_{0}^{x}y^{3}\,dy.
Calculamos cada parte:
3x^{2}\int_{0}^{x}y\,dy =3x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} =\frac{3}{2}x^{4},
\int_{0}^{x}y^{3}\,dy =\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{x} =\frac{x^{4}}{4}.
Logo, a integral interna vale
\frac{3}{2}x^{4}-\frac{1}{4}x^{4} =\frac{5}{4}x^{4}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\frac{5}{4}x^{4}\,dx =\frac{5}{4}\int_{0}^{2}x^{4}\,dx =\frac{5}{4}\cdot\frac{x^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} =\frac{5}{4}\cdot\frac{2^{5}}{5} =\frac{32}{4} =8.

Resposta

8

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