Calcule \int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{y}}^{1} \sin \left(x^{3}\right) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{\sqrt{y}}^{1}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dx\Bigr]\,dy.
O conteúdo aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas (Teorema de Fubini) e, em seguida, cálculo de uma integral simples por substituição.

Passo 2

Descrevemos a região de integração
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\\ \sqrt{y}\le x\le1\}
e observamos que tils região também se caracteriza por
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le x^{2}\}.
Logo, trocando a ordem de integração,
\int_{y=0}^{1}\int_{x=\sqrt y}^{1}\sin(x^{3})\,dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x^{2}}\sin(x^{3})\,dy\,dx.

Passo 3

No integrando interno a função \sin(x^{3}) é constante em y, então
\int_{y=0}^{x^{2}}\sin(x^{3})\,dy =x^{2}\,\sin(x^{3}).
Assim a integral original vira
I=\int_{0}^{1}x^{2}\sin(x^{3})\,dx.

Passo 4

Fazemos a substituição \displaystyle t=x^{3}, de modo que \,dt=3x^{2}\,dx.
Quando x varia de 0 a 1, t varia de 0 a 1. Portanto
I=\int_{0}^{1}x^{2}\sin(x^{3})\,dx =\int_{t=0}^{1}\sin(t)\,\frac{dt}{3} =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\sin(t)\,dt.

Passo 5

Sabemos que \displaystyle \int\sin(t)\,dt=-\cos(t). Logo
I =\frac{1}{3}\bigl[-\cos(t)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{3}\bigl(-\cos(1)+\cos(0)\bigr) =\frac{1-\cos(1)}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1-\cos(1)}{3}

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