Inverta a ordem de integração na integral
\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x, onde f(x, y) é suposta contínua em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{x}^{\sqrt{2 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\Bigr]dx,
onde f é contínua em \mathbb{R}^2.
Para isso, vamos identificar a região de integração
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le\sqrt{2 - x^{2}}\}
no plano xy e depois expressar a mesma região trocando a ordem dos limites.

Passo 2

Descrevendo a região D:
  • A borda inferior é a reta y=x.
  • A borda superior é o arco de círculo y=\sqrt{2 - x^{2}}.
  • Em x=0 variamos y de 0 até \sqrt2.
  • As duas curvas se cruzam em (x,y) tal que
y=x \quad\text{e}\quad y^{2}+x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=y=1.

Passo 3

Logo, a projeção de D no eixo y vai de y_{\min}=0 até y_{\max}=\sqrt2, mas com uma mudança de comportamento em y=1:
  • Para 0\le y\le1, a restrição y\le\sqrt{2 - x^{2}} é frouxa (pois \sqrt{2-y^{2}}\ge1\ge y), ficando apenas 0\le x\le y.
  • Para 1\le y\le\sqrt2, passa a valer \sqrt{2 - y^{2}}\le y, e a condição dominante é 0\le x\le\sqrt{2 - y^{2}}.

Passo 4

Portanto, invertendo a ordem de integração, a integral fica
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{y}f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{1}^{\sqrt2}\!\int_{0}^{\sqrt{2 - y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{x}^{\sqrt{2 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{y}f(x,y)\,dx\,dy + \int_{1}^{\sqrt2}\!\int_{0}^{\sqrt{2 - y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

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