Calcule as integrais:
\int \frac{\cos t}{1+2 \operatorname{sen} t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos t}{1+2\operatorname{sen} t}\,dt.
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais envolvendo funções trigonométricas, pois o denominador é uma combinação linear de \operatorname{sen} t e sua derivada (proporcional a \cos t) aparece no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + 2\operatorname{sen} t.
Derivando ambos os lados em relação a t, obtemos
du = 2\cos t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \cos t\,dt = \frac{du}{2}.

Passo 3

Agora, substituímos na integral original. O numerador \cos t\,dt vira \tfrac{du}{2} e o denominador 1+2\operatorname{sen} t vira u. Assim,
\int \frac{\cos t}{1+2\operatorname{sen} t}\,dt = \int \frac{\frac{du}{2}}{u} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral \int \frac{du}{u} é o logaritmo natural. Logo,
\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Retornando à variável t, substituímos u = 1 + 2\operatorname{sen} t na antiderivada:
\frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac{1}{2}\ln\bigl|1+2\operatorname{sen} t\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{\cos t}{1+2\operatorname{sen} t}\,dt = \tfrac{1}{2}\ln\bigl|1+2\operatorname{sen} t\bigr| + C.

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