Calcule as integrais: \int \frac{\cos t}{1+2 \operatorname{sen} t} d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos t}{1+2\operatorname{sen} t}\,dt.
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais envolvendo funções trigonométricas, pois o denominador é uma combinação linear de \operatorname{sen} t e sua derivada (proporcional a \cos t) aparece no numerador.
Passo 2
Escolhemos a substituição
u = 1 + 2\operatorname{sen} t.
Derivando ambos os lados em relação a t, obtemos
du = 2\cos t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \cos t\,dt = \frac{du}{2}.
Passo 3
Agora, substituímos na integral original. O numerador \cos t\,dt vira \tfrac{du}{2} e o denominador 1+2\operatorname{sen} t vira u. Assim,