Inverta a ordem de integração na integral
\int_{0}^{3}\left[\int_{x}^{4 x-x^{2}} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{3}\Bigl[\int_{y=x}^{\,y=4x - x^{2}} f(x,y)\,dy\Bigr]dx
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo é interpretação geométrica da região de integração em (x,y) e troca de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro descrevemos a região
R = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\;x\le y\le 4x - x^{2}\bigr\}.
As fronteiras são as curvas y=x (reta) e y=4x - x^{2} (parábola), com x variando de 0 a 3.

Passo 3

Para encontrar as interseções de y=x e y=4x - x^{2}, resolvemos
x = 4x - x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}-3x=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=3.
Logo elas se cruzam em (0,0) e em (3,3).

Passo 4

Projetando R no eixo y, vemos que o menor y em R é 0 (em (0,0)) e o maior y é o vértice da parábola, em x=2, onde
y_{\max}=4\cdot 2 - 2^{2}=4.
Portanto y varia de 0 até 4.

Passo 5

Para um y fixo, as restrições são
  1. x\le y (pois y\ge x),
  2. y\le 4x - x^{2}, ou seja
x^{2}-4x + y\le0 \;\Longrightarrow\; x\in\bigl[\,2-\sqrt{4-y}\,,\,2+\sqrt{4-y}\bigr].

Passo 6

Agora intersectamos x\le y com x\in[\,2-\sqrt{4-y},\,2+\sqrt{4-y}] e 0\le x\le3. Observa-se:
  • Para 0\le y\le3, tem-se 2+\sqrt{4-y}>3 e também y<2+\sqrt{4-y}, logo a condição dominante é x\le y. Assim
x\in\bigl[\,2-\sqrt{4-y},\,y\bigr].
  • Para 3\le y\le4, tem-se 2+\sqrt{4-y}\le3 e y\ge3, então x\le y é automaticamente satisfeita por todo x\le3. Fica
x\in\bigl[\,2-\sqrt{4-y},\,2+\sqrt{4-y}\bigr].

Passo 7

Por fim escrevemos a integral com y externo em dois trechos:
\int_{0}^{3}\Bigl[\int_{x}^{4x - x^{2}} f(x,y)\,dy\Bigr]dx = \int_{y=0}^{3}\Bigl[\int_{x=2-\sqrt{4-y}}^{\,x=y} f(x,y)\,dx\Bigr]dy \;+\; \int_{y=3}^{4}\Bigl[\int_{x=2-\sqrt{4-y}}^{\,x=2+\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

Resposta

\int_{0}^{3}\Bigl[\int_{x}^{4x - x^{2}} f(x,y)\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{3}\Bigl[\int_{2-\sqrt{4-y}}^{y} f(x,y)\,dx\Bigr]dy \;+\; \int_{3}^{4}\Bigl[\int_{2-\sqrt{4-y}}^{2+\sqrt{4-y}} f(x,y)\,dx\Bigr]dy.

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