Inverta a ordem de integração na integral
.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo é interpretação geométrica da região de integração em
e troca de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro descrevemos a região
As fronteiras são as curvas
(reta) e
(parábola), com
variando de
a
.
Passo 3
Para encontrar as interseções de
e
, resolvemos
Logo elas se cruzam em
e em
.
Passo 4
Projetando
no eixo
, vemos que o menor
em
é
(em
) e o maior
é o vértice da parábola, em
, onde
Portanto
varia de
até
.
Passo 5
Para um
fixo, as restrições são
-
(pois ), -
, ou seja
Passo 6
Agora intersectamos
com
e
. Observa-se:
- Para
, tem-se e também , logo a condição dominante é . Assim
- Para
, tem-se e , então é automaticamente satisfeita por todo . Fica
Passo 7
Por fim escrevemos a integral com
externo em dois trechos: