O enunciado pede para calcular a integral de uma função com valor absoluto:
\int_{-1}^{1}\bigl|e^{x}-1\bigr|\,dx.
O conteúdo aqui é tratar o módulo, isto é, quebrar a integral onde o argumento muda de sinal. Precisamos encontrar onde e^{x}-1=0 e depois integrar em cada trecho sem o módulo.
Passo 2
Determinamos o ponto em que e^{x}-1 muda de sinal. Resolvendo
e^{x}-1=0
vemos que a solução é x=0. Para x<0 temos e^{x}<1, logo e^{x}-1<0 e \bigl|e^{x}-1\bigr|=1-e^{x}. Para x\ge0 temos e^{x}\ge1, logo \bigl|e^{x}-1\bigr|=e^{x}-1.