Calcule:
\int_{-1}^{1}\left|e^{x}-1\right| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função com valor absoluto:
\int_{-1}^{1}\bigl|e^{x}-1\bigr|\,dx.
O conteúdo aqui é tratar o módulo, isto é, quebrar a integral onde o argumento muda de sinal. Precisamos encontrar onde e^{x}-1=0 e depois integrar em cada trecho sem o módulo.

Passo 2

Determinamos o ponto em que e^{x}-1 muda de sinal. Resolvendo
e^{x}-1=0
vemos que a solução é x=0. Para x<0 temos e^{x}<1, logo e^{x}-1<0 e \bigl|e^{x}-1\bigr|=1-e^{x}. Para x\ge0 temos e^{x}\ge1, logo \bigl|e^{x}-1\bigr|=e^{x}-1.

Passo 3

Calculamos a parte de -1 até 0:
\int_{-1}^{0}\bigl|e^{x}-1\bigr|\,dx =\int_{-1}^{0}(1-e^{x})\,dx.
Uma primitiva de 1-e^{x} é x-e^{x}. Avaliando em -1 e 0:
\bigl[x-e^{x}\bigr]_{-1}^{0} =(0-e^{0})-\bigl(-1-e^{-1}\bigr) =-1-(-1-\tfrac1e) =\frac1e.

Passo 4

Agora a parte de 0 até 1:
\int_{0}^{1}\bigl|e^{x}-1\bigr|\,dx =\int_{0}^{1}(e^{x}-1)\,dx.
Uma primitiva de e^{x}-1 é e^{x}-x. Avaliando em 0 e 1:
\bigl[e^{x}-x\bigr]_{0}^{1} =(e-1)-(1-0) =e-2.

Passo 5

Somando as duas partes temos
\int_{-1}^{1}\bigl|e^{x}-1\bigr|\,dx =\frac1e+(e-2) =e+\frac1e-2.

Resposta

\displaystyle e+\frac1e-2

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