Defina F(x) por
F(x)=\int_{1}^{x}\left(3 t^{2}-3\right) d t
a) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar F^{\prime}(x).
b) Verifique o resultado de (a) integrando e depois diferenciando.

Passo 1

O enunciado define F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}(3t^{2}-3)\,dt e pede duas coisas:
  1. Usar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar F'(x).
  2. Verificar o resultado de (a) integrando primeiro e depois diferenciando.

Passo 2

Pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,
então
G'(x)=f(x).
Aqui f(t)=3t^{2}-3, logo
F'(x)=3x^{2}-3.

Passo 3

Agora vamos calcular F(x) explicitamente. Integramos termo a termo:
\int(3t^{2}-3)\,dt = \int3t^{2}\,dt - \int3\,dt = t^{3}-3t + C.
Como é integral definida de 1 a x, temos
F(x)=\bigl[t^{3}-3t\bigr]_{1}^{x} = \bigl(x^{3}-3x\bigr) - \bigl(1^{3}-3\cdot1\bigr) = x^{3}-3x -(-2) = x^{3}-3x+2.

Passo 4

Diferenciando F(x)=x^{3}-3x+2 obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x+2\bigr) =3x^{2}-3,
que coincide com o resultado do Passo 2.

Resposta

(a) F'(x)=3x^{2}-3.
(b) Ao integrar e depois diferenciar, chegamos a 3x^{2}-3, confirmando o resultado de (a).

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