Vamos usar duas ideias principais: (i) achar o ponto onde o que está dentro do valor absoluto muda de sinal, resolvendo \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{2}, e (ii) saber que
Denotamos a=\tfrac1{\sqrt2} e b=\tfrac{\sqrt3}{2}.
Passo 3
Para 0\le x<a temos \tfrac1{\sqrt{1-x^2}}<\sqrt2, logo \bigl|\tfrac1{\sqrt{1-x^2}}-\sqrt2\bigr|=\sqrt2-\tfrac1{\sqrt{1-x^2}}.
Para a<x\le b o sinal se inverte e \bigl|\tfrac1{\sqrt{1-x^2}}-\sqrt2\bigr|=\tfrac1{\sqrt{1-x^2}}-\sqrt2.
Assim o integral se divide em
A primeira parte é \sqrt2\cdot a=\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}=1.
A segunda parte é \bigl[\arcsin(x)\bigr]_{0}^{a}=\arcsin\!\bigl(\tfrac1{\sqrt2}\bigr)-0=\frac\pi4.
Logo
A primeira parte é \bigl[\arcsin(x)\bigr]_{a}^{b}
=\arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)-\arcsin\!\bigl(\tfrac1{\sqrt2}\bigr)
=\frac\pi3-\frac\pi4=\frac\pi{12}.
A segunda parte é \sqrt2\,(b-a)
=\sqrt2\Bigl(\frac{\sqrt3}{2}-\frac1{\sqrt2}\Bigr)
=\frac{\sqrt6}{2}-1.
Portanto