Calcule: \int_{0}^{\pi / 2}\left|\frac{1}{2}-\cos x\right| d x
Passo 1
O enunciado pede o valor de
\int_{0}^{\pi/2}\Bigl|\tfrac12-\cos x\Bigr|\,dx.
O conteúdo é integração de valor absoluto. Para resolver, vamos achar onde o integrando muda de sinal (isto é, onde \cos x=\tfrac12), dividir a integral em dois trechos e integrar sem o valor absoluto em cada trecho.
Passo 2
Resolvendo
\cos x = \tfrac12
em [0,\tfrac{\pi}{2}] obtemos x=\tfrac{\pi}{3}. Para 0\le x<\tfrac{\pi}{3}, \cos x>\tfrac12 e \tfrac12-\cos x<0, logo
\bigl|\tfrac12-\cos x\bigr| = \cos x - \tfrac12.
Para \tfrac{\pi}{3}<x\le\tfrac{\pi}{2}, \cos x<\tfrac12 e \tfrac12-\cos x>0, logo
\bigl|\tfrac12-\cos x\bigr| = \tfrac12 - \cos x.
Passo 3
Calcular
I_1 = \int_{0}^{\pi/3}\bigl(\cos x - \tfrac12\bigr)\,dx.