Calcule:
\int_{-3}^{3}\left|x^{2}-1-\frac{15}{x^{2}+1}\right| d x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{-3}^{3}\left|x^{2}-1-\frac{15}{x^{2}+1}\right|\,dx.
Isso envolve cálculo de integral definida de valor absoluto. Vamos usar que a função
f(x)=x^{2}-1-\frac{15}{x^{2}+1}
é par, encontrar onde muda de sinal (raízes), obter uma primitiva de f, e depois fazer a decomposição em subintervalos onde f é positiva ou negativa.

Passo 2

Como f é par,
\int_{-3}^{3}\bigl|f(x)\bigr|\,dx =2\int_{0}^{3}\bigl|f(x)\bigr|\,dx.
Para saber onde f muda de sinal, resolvemos
f(x)=0\iff x^{2}-1=\frac{15}{x^{2}+1} \iff (x^{2}-1)(x^{2}+1)=15 \iff x^{4}-1=15 \iff x^{4}=16
que dá x=\pm2. Então em [0,2) temos f(x)<0 e em (2,3] temos f(x)>0.

Passo 3

Obtemos uma primitiva de f(x):
\int\!f(x)\,dx =\int\Bigl(x^{2}-1\Bigr)dx -15\int\frac{dx}{x^{2}+1} =\frac{x^{3}}{3}-x-15\arctan x + C.

Passo 4

No intervalo [0,2], f(x)<0, então
\int_{0}^{2}\bigl|f(x)\bigr|\,dx =-\int_{0}^{2}f(x)\,dx =-\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-x-15\arctan x\Bigr]_{0}^{2} =-\Bigl(\tfrac{8}{3}-2-15\arctan2\Bigr) =15\arctan2-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

No intervalo [2,3], f(x)>0, então
\int_{2}^{3}\bigl|f(x)\bigr|\,dx =\int_{2}^{3}f(x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-x-15\arctan x\Bigr]_{2}^{3} =\Bigl(9-3-15\arctan3\Bigr)-\Bigl(\tfrac{8}{3}-2-15\arctan2\Bigr) = \tfrac{16}{3}+15\bigl(\arctan2-\arctan3\bigr).

Passo 6

Somando e multiplicando por 2,
\int_{-3}^{3}\bigl|f(x)\bigr|\,dx =2\Bigl[\bigl(15\arctan2-\tfrac{2}{3}\bigr) +\bigl(\tfrac{16}{3}+15(\arctan2-\arctan3)\bigr)\Bigr] =60\arctan2-30\arctan3+\tfrac{28}{3}.

Resposta

\boxed{60\arctan2 \;-\;30\arctan3 \;+\;\frac{28}{3}}.

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