Calcule.
\int \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln x \, dx
Este é um caso clássico de integração por partes, pois temos um produto implícito entre \ln x e 1. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de forma conveniente:
u = \ln x, \quad dv = dx.
Então precisamos de du e de v. Derivando u e integrando dv, obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int dx = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int \ln x \, dx = u\,v - \int v\,du = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Dentro da integral sobra
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int 1\,dx = x.
Logo a expressão fica
x\ln x - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x\ln x - x + C

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