Calcule.
\int x \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int x \ln x \,dx. Como temos um produto entre uma parte algébrica x e uma parte logarítmica \ln x, a técnica de integração por partes é a mais adequada.

Passo 2

Na integração por partes, usamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Para o nosso caso, escolhemos
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int x \ln x \,dx = u\,v \;-\;\int v\,du = \frac{x^2}{2}\,\ln x \;-\;\int \frac{x^2}{2}\,\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x \;-\;\frac{1}{2}\int x\,dx.

Passo 5

Basta agora calcular a integral remanescente:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2},
logo
\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.
Substituindo de volta,
\int x \ln x \,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

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