Calcule.
\int x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\ln x\,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar a integral de v\,du: u = \ln x e dv = x^{2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \ln x\cdot\frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Dentro da integral restante temos
\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{3},
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\int \frac{x^{2}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.
Portanto
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\ln x \;-\;\frac{x^{3}}{9} + C.

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