Calcule.
\int x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}e^{x}\,dx.
O conteúdo principal é integração por partes, que vem da fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes para iniciar a redução de grau em x. Seja
u = x^{2}, \quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Pela fórmula de integração por partes:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\,(2x)\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular \int x\,e^{x}\,dx. Aplicamos integração por partes de novo, com
u = x, \quad dv = e^{x}\,dx
levando a
du = dx, \quad v = e^{x}.
Logo,
\int x\,e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão obtida no Passo 2:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) + C = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x} + C.
Fatorando e^{x}, fica
\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.

Resposta

\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.

Exercícios relacionados