Use substituição nas integrais definidas abaixo para calculá-las.
\int_{-2}^{-1} \frac{x}{\left(x^{2}+2\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-2}^{-1} \frac{x}{\bigl(x^{2}+2\bigr)^{3}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos escolher u = x^{2}+2, pois sua derivada envolve exatamente x\,dx, presente no numerador.

Passo 2

Definimos
u = x^{2} + 2 \qquad\Longrightarrow\qquad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.
Quando x = -2, temos u = (-2)^{2}+2 = 6.
Quando x = -1, temos u = (-1)^{2}+2 = 3.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{-2}^{-1} \frac{x}{(x^{2}+2)^{3}}\,dx = \frac12 \int_{u=6}^{u=3} u^{-3}\,du.

Passo 4

Conhecendo a antiderivada
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2},
temos
\frac12 \int_{6}^{3} u^{-3}\,du = \frac12 \Bigl[\frac{u^{-2}}{-2}\Bigr]_{6}^{3} = -\frac14 \bigl[u^{-2}\bigr]_{6}^{3}.

Passo 5

Avaliando o termo entre colchetes:
-\frac14\bigl(3^{-2} - 6^{-2}\bigr) = -\frac14\Bigl(\tfrac{1}{9} - \tfrac{1}{36}\Bigr) = -\frac14 \cdot \frac{3}{36} = -\frac14 \cdot \frac{1}{12} = -\frac{1}{48}.

Resposta

-\tfrac{1}{48}

Exercícios relacionados