Calcule:
\int_{0}^{\ln 2} x\left(\mathrm{e}^{x}+1\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} x\bigl(e^{x}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve uso da linearidade da integral para separar
\displaystyle \int x(e^{x}+1)\,dx = \int x e^{x}\,dx + \int x\,dx
e aplicação de integração por partes na primeira parcela.

Passo 2

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} x e^{x}\,dx, usamos integração por partes. Tomamos
\displaystyle u = x e \displaystyle dv = e^{x}\,dx,
logo \displaystyle du = dx e \displaystyle v = e^{x}.
Assim:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Avaliando de 0 a \ln 2:
\left. x e^{x} - e^{x} \right|_{0}^{\ln 2} = \bigl(\ln 2\cdot 2 - 2\bigr) - \bigl(0\cdot1 - 1\bigr) = 2\ln 2 -2 +1 = 2\ln 2 -1.

Passo 3

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} x\,dx, usamos a primitiva de x:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C,
portanto
\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{\ln 2} = \frac{(\ln 2)^{2}}{2}.

Passo 4

Pela linearidade da integral, somamos as duas parcelas:
\int_{0}^{\ln 2} x\bigl(e^{x}+1\bigr)\,dx = \bigl(2\ln 2 -1\bigr) + \frac{(\ln 2)^{2}}{2} = \frac{(\ln 2)^{2}}{2} + 2\ln 2 -1.

Resposta

\frac{(\ln 2)^{2}}{2} + 2\ln 2 - 1

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