Calcule:
\int_{-\pi}^{\pi} x^{4} \cos x d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-\pi}^{\pi} x^{4}\cos x \,dx.
O conteúdo necessário envolve paridade de funções e integração por partes repetida.

Passo 2

Repare que x^{4} é função par e \cos x também é par, logo o produto é par. Assim
\int_{-\pi}^{\pi} x^{4}\cos x \,dx = 2 \int_{0}^{\pi} x^{4}\cos x \,dx.
Denotemos
I = \int_{0}^{\pi} x^{4}\cos x \,dx,
então o integral original será 2I.

Passo 3

Para calcular
I = \int_{0}^{\pi} x^{4}\cos x \,dx
aplicamos integração por partes com u = x^{4}, dv = \cos x\,dx. Então du = 4x^{3}dx e v = \sin x, obtendo
I = \bigl[x^{4}\sin x\bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}4x^{3}\sin x\,dx = -4\int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx,
pois \sin(0)=\sin(\pi)=0. Denotemos
J = \int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx,
logo I = -4J.

Passo 4

Para
J = \int_{0}^{\pi}x^{3}\sin x\,dx
faremos outra vez partes com u=x^{3}, dv=\sin x\,dx. Então du=3x^{2}dx e v=-\cos x, daí
J = \bigl[-x^{3}\cos x\bigr]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}3x^{2}\cos x\,dx = \pi^{3} + 3\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx,
porque -\pi^{3}\cos\pi = -\pi^{3}(-1)=\pi^{3} e o termo em 0 some. Denotemos
K = \int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx,
então
J = \pi^{3} + 3K.

Passo 5

Para
K = \int_{0}^{\pi}x^{2}\cos x\,dx
usamos partes com u=x^{2}, dv=\cos x\,dx. Assim du=2x\,dx, v=\sin x e
K = \bigl[x^{2}\sin x\bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}2x\sin x\,dx = -2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx,
pois \sin(0)=\sin(\pi)=0. Definamos
L = \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx.
Para L usamos partes com u=x, dv=\sin x\,dx, obtendo du=dx, v=-\cos x e
L = \bigl[-x\cos x\bigr]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}\cos x\,dx = \pi + \bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\pi} = \pi.
Logo
K = -2L = -2\pi.

Passo 6

Agora voltamos substituindo:
J = \pi^{3} + 3K = \pi^{3} + 3(-2\pi) = \pi^{3} - 6\pi,
I = -4J = -4\bigl(\pi^{3} - 6\pi\bigr) = -4\pi^{3} + 24\pi,
e finalmente
\int_{-\pi}^{\pi} x^{4}\cos x \,dx = 2I = 2\bigl(-4\pi^{3} + 24\pi\bigr) = -8\pi^{3} + 48\pi.

Resposta

-8\pi^{3} + 48\pi.

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