Calcule:
\int\left[\operatorname{tg} x+\frac{1}{x}+\log _{5} x\right] d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl[\tan x + \frac{1}{x} + \log_{5}x\Bigr]\,dx.
O conteúdo aqui é a linearidade da integral e o uso de antiderivadas conhecidas para \tan x, 1/x e \log_{5}x.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade:
\int\Bigl[\tan x + \frac{1}{x} + \log_{5}x\Bigr]\,dx = \int \tan x\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx + \int \log_{5}x\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \tan x\,dx, usamos \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. Seja u=\cos x, então du=-\sin x\,dx. Logo,
\int \tan x\,dx =\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx =-\int \frac{du}{u} =-\ln\bigl|\cos x\bigr|.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx, é a antiderivada clássica de 1/x:
\int \frac{1}{x}\,dx =\ln\bigl|x\bigr|.

Passo 5

Para \displaystyle \int \log_{5}x\,dx, primeiro convertemos a base:
\log_{5}x = \frac{\ln x}{\ln 5}.
Então
\int \log_{5}x\,dx =\frac{1}{\ln 5}\int \ln x\,dx.
E sabemos que
\int \ln x\,dx =x\ln x - x.
Portanto
\int \log_{5}x\,dx =\frac{1}{\ln 5}\bigl(x\ln x - x\bigr).

Passo 6

Somando as três partes e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int\Bigl[\tan x + \frac{1}{x} + \log_{5}x\Bigr]\,dx =-\ln\bigl|\cos x\bigr| +\ln\bigl|x\bigr| +\frac{x\ln x - x}{\ln 5} + C.

Resposta

-\ln\bigl|\cos x\bigr| \;+\;\ln\bigl|x\bigr| \;+\;\frac{x\ln x - x}{\ln 5} + C.

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