(0,6 pontos) Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando cada resposta com os cálculos matemáticos correspondentes.
a) Se f(x)=2^{x^{2}-5 x} então a inclinação da reta tangente da f em x_{0}=5 é 5 \ln 2.
b) A área delimitada pela função f(x)=\sqrt{x} e o eixo das abscissas, com 0 \leq x \leq 4, é maior que 3 u.a.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiras (V) ou falsas (F) duas afirmações envolvendo (i) a derivada de uma função exponencial e (ii) a área sob a curva de f(x)=\sqrt{x} no intervalo [0,4]. Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas de a^{u(x)} e a integral de potência para calcular essa área.

Passo 2

Para f(x)=2^{x^{2}-5x}, a derivada usa a fórmula
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).
Aqui a=2 e u(x)=x^2-5x, então
u'(x)=2x-5 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=2^{x^2-5x}\,\ln(2)\,(2x-5).
A inclinação da reta tangente em x_0=5 é
f'(5)=2^{5^2-5\cdot5}\,\ln(2)\,(2\cdot5-5) =2^{25-25}\,\ln(2)\cdot5 =1\cdot5\ln(2) =5\ln(2).
Logo a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

A área sob f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} de 0 a 4 é
\int_{0}^{4}x^{1/2}\,dx =\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{4} =\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-0\bigr) =\frac{2}{3}\cdot8 =\frac{16}{3}.
Como \tfrac{16}{3}\approx5{,}33 é maior que 3, a área supera 3 unidades quadradas. Assim a afirmação (b) é verdadeira.

Resposta

(a) V
(b) V

Exercícios relacionados