Calcule
onde
é parte da superfície
no primeiro octante e cortada pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de superfície
onde
é a parte da superfície
no primeiro octante (
,
,
) limitada pelo plano
.
Conteúdo: integral de superfície de uma superfície parametrizada e cálculo do elemento de área.
Conteúdo: integral de superfície de uma superfície parametrizada e cálculo do elemento de área.
Passo 2
Parametrizamos
pela variável
e pela altura
. Como
e sobre o plano
temos
então a parametrização é
com domínio
Para encontrar os limites em
, resolvemos
, isto é
e no primeiro octante tomamos
Passo 3
Calculamos o elemento de área
. Primeiro as derivadas parciais:
O produto vetorial é
logo
Portanto
Passo 4
Na parametrização temos
, então o integrando fica
A integral de superfície torna-se
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Logo sobra a integral em
:
Passo 6
Expandimos o integrando:
Um primitivo é
Então
Passo 7
Calculando as potências de
:
Substituindo em
e combinando termos obtemos