Calcule \int_{\Omega} g(x, y, z) d S
\int_{\Omega} \sqrt{4 y+1} d S onde \Omega é parte da superfície y=x^{2} no primeiro octante e cortada pelo plano 2 x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de superfície
\iint_{\Omega}\sqrt{4y+1}\,dS
onde \Omega é a parte da superfície y=x^2 no primeiro octante ( x\ge0, y\ge0, z\ge0) limitada pelo plano 2x+y+z=1.
Conteúdo: integral de superfície de uma superfície parametrizada e cálculo do elemento de área.

Passo 2

Parametrizamos \Omega pela variável x e pela altura z. Como y=x^2 e sobre o plano 2x+y+z=1 temos
z = 1 - 2x - x^2,
então a parametrização é
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\;x^2,\;z\bigr),
com domínio
D = \bigl\{(x,z)\mid 0\le x,\;0\le z,\;z\le 1-2x-x^2\bigr\}.
Para encontrar os limites em x, resolvemos 1-2x-x^2=0, isto é
x^2+2x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt2,
e no primeiro octante tomamos
0\le x\le \sqrt2-1, \quad 0\le z\le 1-2x-x^2.

Passo 3

Calculamos o elemento de área dS. Primeiro as derivadas parciais:
r_x = \bigl(1,\,2x,\,0\bigr), \quad r_z = \bigl(0,\,0,\,1\bigr).
O produto vetorial é
r_x \times r_z = \bigl(2x,\,-1,\,0\bigr),
logo
|r_x \times r_z| = \sqrt{(2x)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4x^2+1}.
Portanto
dS = \sqrt{4x^2+1}\;dx\,dz.

Passo 4

Na parametrização temos y=x^2, então o integrando fica
\sqrt{4y+1} = \sqrt{4x^2+1}.
A integral de superfície torna-se
\iint_{\Omega}\sqrt{4y+1}\,dS = \int_{x=0}^{\sqrt2-1}\int_{z=0}^{1-2x-x^2} \sqrt{4x^2+1}\,\bigl(\sqrt{4x^2+1}\bigr)\,dz\,dx = \int_{0}^{\sqrt2-1}\int_{0}^{1-2x-x^2}(4x^2+1)\,dz\,dx.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{1-2x-x^2}(4x^2+1)\,dz = (4x^2+1)\bigl[\,z\bigr]_{0}^{1-2x-x^2} = (4x^2+1)\,\bigl(1-2x-x^2\bigr).
Logo sobra a integral em x:
I = \int_{0}^{\sqrt2-1}(4x^2+1)\,(1-2x-x^2)\,dx.

Passo 6

Expandimos o integrando:
(4x^2+1)(1-2x-x^2) = -4x^4 -8x^3 +3x^2 -2x +1.
Um primitivo é
F(x) = -\tfrac45x^5 \;-\;2x^4 \;+\;x^3 \;-\;x^2 \;+\;x.
Então
I = \bigl[F(x)\bigr]_{0}^{\sqrt2-1} = F(\sqrt2-1) - F(0).

Passo 7

Calculando as potências de a=\sqrt2-1:
a^2=3-2\sqrt2,\quad a^3=5\sqrt2-7,\quad a^4=17-12\sqrt2,\quad a^5=29\sqrt2-41.
Substituindo em F(a) e combinando termos obtemos
I = \frac{-61 + 44\sqrt2}{5}.

Resposta

\iint_{\Omega}\sqrt{4y+1}\,dS = \frac{-61 + 44\sqrt2}{5}.

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