Use integral de superfície para determinar a área de um cone circular reto de raio R e altura h.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, via integral de superfície, a área lateral de um cone circular reto de raio da base R e altura h.
Conteúdo: parametrização de superfícies e cálculo de área usando \bigl\lvert r_u\times r_v\bigr\rvert.

Passo 2

Vamos parametrizar a superfície lateral do cone. Seja (u,t) com
u\in[0,2\pi],\quad t\in[0,R].
Definimos
r(u,t)=\bigl(x(u,t),y(u,t),z(u,t)\bigr) =\bigl(t\cos u,\;t\sin u,\;\tfrac{h}{R}\,t\bigr).
Para cada t fixo, (t\cos u,t\sin u) descreve o círculo de raio t na base, e a componente z cresce linearmente até h quando t=R.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
r_u(u,t)=\bigl(-t\sin u,\;t\cos u,\;0\bigr), \quad r_t(u,t)=\bigl(\cos u,\;\sin u,\;\tfrac{h}{R}\bigr).

Passo 4

O produto vetorial é
r_u\times r_t =\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -t\sin u&t\cos u&0\\\ \cos u&\sin u&\tfrac{h}{R} \end{pmatrix} =\bigl(t\cos u\tfrac{h}{R},\;t\sin u\tfrac{h}{R},\;-t\bigr).
A norma vale
\bigl\lvert r_u\times r_t\bigr\rvert =\sqrt{\Bigl(t\frac{h}{R}\Bigr)^2+\Bigl(t\frac{h}{R}\Bigr)^2+(-t)^2} =t\sqrt{\frac{h^2}{R^2}+1} =\frac{t}{R}\,\sqrt{R^2+h^2}.

Passo 5

A área lateral A é
A =\iint_D\bigl\lvert r_u\times r_t\bigr\rvert\,du\,dt =\int_{u=0}^{2\pi}\int_{t=0}^{R}\frac{t}{R}\sqrt{R^2+h^2}\;dt\,du.
Como \sqrt{R^2+h^2} e 1/R são constantes em relação a t e u,
A =\frac{\sqrt{R^2+h^2}}{R}\,\int_{0}^{2\pi}\!du \int_{0}^{R}t\,dt =\frac{\sqrt{R^2+h^2}}{R}\,(2\pi)\,\frac{R^2}{2} =\pi R\sqrt{R^2+h^2}.

Resposta

A=\pi R\sqrt{R^2+h^2}.

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