Calcule a integral de superfície \int_{\Omega}\left(x^{2}-y^{2}\right) d S onde \Omega é o hemisfério z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}. Use coordenadas esféricas para parametrizar a superfície \Omega.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{\Omega}(x^{2}-y^{2})\,dS
onde \Omega é o hemisfério superior de raio 3 dado por z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.
O conteúdo aqui é integral de superfície em coordenadas esféricas, e vamos usar a parametrização da esfera de raio 3.

Passo 2

Parametrizamos \Omega por
x = 3\sin\varphi\cos\theta,\quad y = 3\sin\varphi\sin\theta,\quad z = 3\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (hemisfério superior) e \theta\in[0,2\pi].
O elemento de área na esfera de raio 3 é
dS = (3)^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 9\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Expressamos o integrando em termos de \varphi e \theta:
x^{2}-y^{2} = (3\sin\varphi\cos\theta)^{2} - (3\sin\varphi\sin\theta)^{2} = 9\sin^{2}\varphi\bigl(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\bigr) = 9\sin^{2}\varphi\cos2\theta.

Passo 4

Montamos a integral dupla:
\iint_{\Omega}(x^{2}-y^{2})\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigl(9\sin^{2}\varphi\cos2\theta\bigr)\,(9\sin\varphi)\,d\varphi\,d\theta =81\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}\varphi\,d\varphi \int_{0}^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta.

Passo 5

O fator angular é
\int_{0}^{2\pi}\cos2\theta\,d\theta = 0
pois \cos2\theta completa ciclos inteiros em [0,2\pi]. Logo toda a integral é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados