Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de
f(x) = \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2}+1)^{2}}.
O conteúdo é integração de função racional; vamos usar decomposição algébrica e substituição.

Passo 2

Repare que
x^{2} + x + 1 = (x^{2}+1) + x,
logo
f(x) = \frac{x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}} \;+\; \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}+1} \;+\; \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Integramos o primeiro termo usando a fórmula de arco-tangente:
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Passo 4

Para o segundo termo, faça u = x^{2}+1, logo du = 2x\,dx ou x\,dx = \tfrac12\,du. Assim,
\int \frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(x^{2}+1)}.

Resposta

\int f(x)\,dx = \arctan(x) \;-\; \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.

Exercícios relacionados