Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sin x+\operatorname{sinh} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(\sin x + \operatorname{sinh} x\bigr)\,dx.
Aqui vamos usar duas coisas: (1) a linearidade da integral e (2) as antiderivadas conhecidas de \sin x e de \operatorname{sinh} x.

Passo 2

Aplicando a linearidade da integral, separamos em duas integrais:
\int \bigl(\sin x + \operatorname{sinh} x\bigr)\,dx = \int \sin x\,dx + \int \operatorname{sinh} x\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int \sin x\,dx, lembramos que a derivada de \cos x é -\sin x. Então uma antiderivada de \sin x é
-\cos x.

Passo 4

Para \displaystyle \int \operatorname{sinh} x\,dx, sabemos que a derivada de \operatorname{cosh} x é \operatorname{sinh} x. Logo uma antiderivada de \operatorname{sinh} x é
\operatorname{cosh} x.

Passo 5

Somando as duas antiderivadas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \bigl(\sin x + \operatorname{sinh} x\bigr)\,dx = -\cos x + \operatorname{cosh} x + C.

Resposta

-\cos x + \operatorname{cosh} x + C

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