Faça um esboço do gráfico da função definida por f(x)=\frac{3 x+2}{2 x-4}. Em seguida calcule:
a) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{3x+2}{2x-4}
e o cálculo dos limites laterais em x=2: \lim_{x\to2^-}f(x), \lim_{x\to2^+}f(x) e o limite geral \lim_{x\to2}f(x). Para isso vamos identificar domínio, assíntotas e interceptos, esboçar qualitativamente a hipérbole e depois analisar o comportamento perto de x=2.

Passo 2

O domínio de f é \{x\in\mathbb{R}:x\neq2\} pois o denominador zera em x=2.
A assíntota vertical vem de 2x-4=0, ou seja, x=2.
Como o grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais:
y=\frac{3}{2}.
Para os interceptos:
– Com o eixo x: 3x+2=0 x=-\tfrac{2}{3}.
– Com o eixo y: f(0)=\tfrac{2}{-4}=-\tfrac{1}{2}.
Em cada ramo a curva se aproxima das assíntotas: para x\to-\infty e x\to+\infty, f(x)\to\frac32; para x\to2^- e x\to2^+ ela diverge. O esboço é uma hipérbole com um ramo entre -\infty<x<2 e outro entre 2<x<+\infty, aproximando-se de x=2 e de y=\tfrac32.

Passo 3

Para \displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x) note que o numerador tende a 3\cdot2+2=8>0 e o denominador tende a 2\cdot2-4=0 por valores negativos (pois x<2). Logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty.

Passo 4

Para \displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x) o numerador também tende a 8>0 mas o denominador tende a 0 por valores positivos (pois x>2). Assim
\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem (um vai a -\infty e o outro a +\infty), o limite geral em x=2 não existe.

Resposta

a) -\infty
b) +\infty
c) não existe

Exercícios relacionados