Questão 4. Calcule a massa do tetraedro
, cuja densidade é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um tetraedro no primeiro octante definido por
com densidade
.
Para calcular a massa usamos a fórmula
Para calcular a massa usamos a fórmula
e escolhemos a ordem de integração
.
Passo 2
Escrevemos o integral triplamente iterado:
Passo 3
Calculamos primeiro a integral em
. Seja
. Então
Logo
Passo 4
Expandimos o integrando em
:
Agora
onde
. Substituindo e combinando frações dá
Assim
Passo 5
Fazendo a mudança
,
, quando
vem
e quando
vem
. Então
Portanto