Questão 4. Calcule a massa do tetraedro 3 x+2 y+z \leq 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, cuja densidade é dada por \rho(x, y, z)=y+2 z.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um tetraedro no primeiro octante definido por
3x+2y+z\le1,\quad x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0
com densidade \rho(x,y,z)=y+2z.
Para calcular a massa usamos a fórmula
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV
e escolhemos a ordem de integração z\to y\to x.

Passo 2

Escrevemos o integral triplamente iterado:
M=\int_{x=0}^{1/3}\!\int_{y=0}^{\frac{1-3x}{2}}\!\int_{z=0}^{\,1-3x-2y}(y+2z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em z. Seja H=1-3x-2y. Então
\int_{0}^{H}(y+2z)\,dz =\bigl[y\,z+z^2\bigr]_{0}^{H} =yH+H^2.
Logo
M=\int_{0}^{1/3}\!\int_{0}^{\frac{1-3x}{2}}\bigl(y(1-3x-2y)+(1-3x-2y)^2\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Expandimos o integrando em y:
y(1-3x-2y)+(1-3x-2y)^2 =(1-3x)^2-3(1-3x)\,y+2y^2.
Agora
\int_{0}^{\frac{1-3x}{2}}\bigl((1-3x)^2-3(1-3x)y+2y^2\bigr)\,dy =(1-3x)^2Y-\tfrac{3}{2}(1-3x)Y^2+\tfrac{2}{3}Y^3,
onde Y=(1-3x)/2. Substituindo e combinando frações dá
\int_{0}^{\frac{1-3x}{2}}\dots dy =\frac{5}{24}(1-3x)^3.
Assim
M=\int_{0}^{1/3}\frac{5}{24}(1-3x)^3\,dx.

Passo 5

Fazendo a mudança u=1-3x, dx=-du/3, quando x=0 vem u=1 e quando x=\tfrac13 vem u=0. Então
\int_{0}^{1/3}(1-3x)^3\,dx =\frac{1}{3}\int_{1}^{0}u^3(-du) =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}u^3\,du =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{12}.
Portanto
M=\frac{5}{24}\cdot\frac{1}{12} =\frac{5}{288}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{288}

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