Determine o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F}(x, y, z)=\left\langle x+y^{2}, y+z^{2}, z+x^{2}\right\rangle sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta de (0,0,1) a (2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F}(x,y,z)=\langle x+y^2,\;y+z^2,\;z+x^2\rangle
ao longo do segmento de reta que vai de (0,0,1) a (2,1,0).
O conteúdo usado é integral de linha de um campo vetorial, usando a fórmula
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Parametrizamos a reta por um parâmetro t\in[0,1]. Como \mathbf{r}(0)=(0,0,1) e \mathbf{r}(1)=(2,1,0), podemos tomar
\mathbf{r}(t) = (2t,\;t,\;1-t).
Dessa forma
\mathbf{r}'(t) = (2,\;1,\;-1).

Passo 3

Substituímos a parametrização em \mathbf{F}: x=2t, y=t, z=1-t, então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl\langle 2t + t^2,\;t + (1-t)^2,\;(1-t) + (2t)^2\bigr\rangle =\bigl\langle t^2+2t,\;t^2 - t +1,\;4t^2 +1 - t\bigr\rangle.

Passo 4

Calculamos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = \langle t^2+2t,\;t^2 - t +1,\;4t^2 +1 - t\rangle \cdot \langle 2,1,-1\rangle = -\,t^2 + 4t.

Passo 5

Agora integramos de t=0 a t=1:
W = \int_0^1 \bigl(-t^2 +4t\bigr)\,dt = \left[-\frac{t^3}{3}+2t^2\right]_0^1 = 2 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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