Calcule \int_{D} \int x^{3} d A, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\right\}.
  • \underline{\text { Resposta }}: \frac{2}{15}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D} x^{3}\,dA,
onde
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le1,\;x\ge0,\;y\ge0\}.
Esse domínio é exatamente o quarto de um disco de raio 1. Para simplificar, vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e o quarto de disco corresponde a
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
x^3\,dA = (r\cos\theta)^3\,(r\,dr\,d\theta) = r^4\cos^3\theta\,dr\,d\theta.
Logo
\iint_{D} x^{3}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\!\int_{r=0}^{1} r^4\cos^3\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

A integral separa-se em produto de uma parte radial e uma parte angular:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}r^4\,dr.
Primeiro, a parte radial:
\int_{0}^{1}r^4\,dr = \biggl[\frac{r^5}{5}\biggr]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.

Passo 5

Agora a parte angular. Usando a redução
\int_{0}^{\pi/2}\cos^n\theta\,d\theta =\frac{n-1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n-2}\theta\,d\theta,
para n=3 vem
\int_{0}^{\pi/2}\cos^3\theta\,d\theta =\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =\frac{2}{3}\Bigl[\sin\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{2}{3}.

Passo 6

Multiplicando as duas partes:
\iint_{D} x^{3}\,dA = \Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)\times\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr) = \frac{2}{15}.

Resposta

\frac{2}{15}

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