Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região delimitada pelas funções y=x e y=\sqrt{x}.
\int_{D} \int x \cdot y d A
* \underline{\text { Resposta }}: \frac{1}{24}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x\,y sobre a região D limitada pelas curvas \,y=x e \,y=\sqrt{x}. O conteúdo é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas, onde vamos identificar os limites de integração e, em seguida, integrar iteradamente.
Passo 2
Para descrever D, encontramos as interseções de
y = x
e
y = \sqrt{x}.
Igualando x = \sqrt{x} temos
x^2 = x \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
Em 0\le x\le1, verifica-se que \sqrt{x}\ge x. Logo, para cada x em [0,1], y varia de y=x até y=\sqrt{x}.