Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região delimitada pelas funções y=x e y=\sqrt{x}.
\int_{D} \int x \cdot y d A

* \underline{\text { Resposta }}: \frac{1}{24}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x\,y sobre a região D limitada pelas curvas \,y=x e \,y=\sqrt{x}. O conteúdo é cálculo de integrais duplas em coordenadas cartesianas, onde vamos identificar os limites de integração e, em seguida, integrar iteradamente.

Passo 2

Para descrever D, encontramos as interseções de
y = x
e
y = \sqrt{x}.
Igualando x = \sqrt{x} temos
x^2 = x \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
Em 0\le x\le1, verifica-se que \sqrt{x}\ge x. Logo, para cada x em [0,1], y varia de y=x até y=\sqrt{x}.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada em ordem dy\,dx:
\iint_{D}x\,y\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\Bigl[\int_{y=x}^{\sqrt{x}}x\,y\,dy\Bigr]dx.
Calculando a integral interna em y:
\int_{y=x}^{\sqrt{x}}x\,y\,dy =x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x}^{y=\sqrt{x}} =x\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}\Bigr) =\frac{x^2 - x^3}{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{x^2 - x^3}{2}\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[\int_{0}^{1}x^2\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^3\,dx\Bigr] =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} =\frac{1}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{24}

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