Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região formada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e \quad x^{2}+y^{2}=16
\int_{D} \int e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A
  • Resposta : \left(\frac{e^{15}-1}{e^{16}}\right) \cdot \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dA
onde D é a região no plano compreendida entre as circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=16.
Como a função e a região são radiais, vamos usar coordenadas polares, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a condição 1\le x^{2}+y^{2}\le16 vira
1\le r^{2}\le16 \quad\Longrightarrow\quad 1\le r\le4,
e \theta varia de 0 a 2\pi. Logo
\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dA =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{4} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para calcular
\int_{r=1}^{4} e^{-r^{2}}\,r\,dr
fazemos a substituição u=r^{2}, então du=2r\,dr ou r\,dr=\tfrac12\,du. Os limites em u vão de 1^{2}=1 até 4^{2}=16. Assim
\int_{1}^{4} e^{-r^{2}}\,r\,dr =\frac12\int_{u=1}^{16} e^{-u}\,du =\frac12\Bigl[-e^{-u}\Bigr]_{1}^{16} =\frac12\bigl(e^{-1}-e^{-16}\bigr).

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac12\bigl(e^{-1}-e^{-16}\bigr)\,d\theta =\frac12\bigl(e^{-1}-e^{-16}\bigr)\cdot2\pi =\pi\bigl(e^{-1}-e^{-16}\bigr).
Para ver na forma equivalente à dada, fatoramos e^{-16}:
e^{-1}-e^{-16} =e^{-16}\bigl(e^{15}-1\bigr),
portanto o resultado final é
\pi\,e^{-16}\bigl(e^{15}-1\bigr) =\pi\;\frac{e^{15}-1}{e^{16}}.

Resposta

\boxed{\pi\;\frac{e^{15}-1}{e^{16}}}.

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