Resolva a integral dupla \int_{D} \int\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde D=\left\{(x, y) \in \Re^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.
  • Resposta: \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de \,x^{2}+y^{2} sobre a região D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le1\}. O conteúdo é cálculo de integrais em coordenadas polares, onde precisamos usar a transformação x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
\,x^{2}+y^{2}=r^{2}
e o elemento de área
\,dA=r\,dr\,d\theta.
Além disso, a região D vira
\,0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Substituindo na integral dupla, obtemos
\int_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\,\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr)

Passo 4

Reescrevendo a integranda, fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta
Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\frac{1}{4}

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\times2\pi = \frac{\pi}{2}

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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