Identifique e esboce os seguintes arcos.
z=t+i \sqrt{1-t^{2}},-1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva complexa
z=t+i\sqrt{1-t^{2}},\qquad -1\le t\le 1.
O que se pede: identificar que arco é esse (qual curva geométrica no plano complexo) e esboçá‑lo (ou seja, dizer onde fica e como traçá‑lo).
Informações importantes fornecidas:
  • A parte real é \Re(z)=t.
  • A parte imagi­nária é \Im(z)=\sqrt{1-t^{2}}.
  • O parâmetro varia em t\in[-1,1].
  • A raiz quadrada escolhida dá sempre o ramo não negativo, logo \Im(z)\ge 0.

Passo 2

Vamos escrever as partes real e imaginária explicitamente e ver uma relação entre elas. Definindo
x(t)=t,\qquad y(t)=\sqrt{1-t^{2}},
temos para todo t\in[-1,1]
x(t)^{2}+y(t)^{2}=t^{2}+\bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr)^{2}=t^{2}+1-t^{2}=1.
Aqui uma explicação rápida do que fiz: para um número complexo z=x+iy, o módulo é |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Mostrar que x^{2}+y^{2}=1 significa que todos os pontos z têm módulo 1, ou seja, pertencem ao círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Como \Im(z)=\sqrt{1-t^{2}}\ge 0 para todo t\in[-1,1], a curva fica na metade superior do círculo de raio 1. Portanto a imagem é a semicircunferência superior do círculo unitário, isto é, o conjunto
\{x+iy\in\mathbb{C}\mid x^{2}+y^{2}=1,\\ y\ge 0\}.

Passo 4

Vamos ver os pontos finais e a orientação (para esboçar corretamente). Para t=-1 e t=1 temos:
z(-1)=-1+i\sqrt{1-(-1)^{2}}=-1+i\cdot 0=-1,
z(1)=1+i\sqrt{1-1^{2}}=1+i\cdot 0=1.
Assim a curva vai de -1 até 1. À medida que t aumenta de -1 para 1, percorre‑se a semicircunferência superior da esquerda para a direita (isto é, do ponto (-1,0) até (1,0)).

Passo 5

Uma parametrização angular útil: escrevendo t=\cos\theta com \theta=\operatorname{arccos} t\in[0,\pi], obtemos
z=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}.
Aqui atenção à orientação: ao substituir t=\cos\theta com \theta\in[0,\pi] o valor de \theta diminui quando t aumenta (porque \cos\theta é decrescente em [0,\pi]). Então, em termos de \theta, os pontos vão de \theta=\pi (corresponde a t=-1) até \theta=0 (corresponde a t=1). Em outras palavras, a curva é a porção do círculo unitário dada por e^{i\theta} com \theta variando de \pi a 0.

Passo 6

Para ajudar no esboço, calcule alguns pontos simples (pegando t da expressão dada):
t=-1\Rightarrow z=-1+ i\cdot 0 = -1,
t=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow z=-\tfrac{1}{2}+ i\sqrt{1-\tfrac{1}{4}}=-\tfrac{1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2},
t=0\Rightarrow z=0+i\sqrt{1}=i,
t=\tfrac{1}{2}\Rightarrow z=\tfrac{1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2},
t=1\Rightarrow z=1+ i\cdot 0 = 1.
Esses pontos estão todos sobre o círculo de raio 1 e mostram claramente a forma da semicircunferência superior.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo, sem complicação):
  1. Desenha um sistema de eixos x (real) e y (imaginário).
  2. Desenha o círculo de raio 1 centrado na origem.
  3. Marca os pontos (-1,0), (0,1) e (1,0).
  4. Traça a metade superior do círculo ligando (-1,0) a (1,0) passando por (0,1).
  5. Se quiser indicar orientação, desenha uma seta da esquerda para a direita ao longo dessa semicircunferência (correspondente a t aumentando).

Resposta

A curva é a semicircunferência superior do círculo unitário centrado na origem, ou seja
\{x+iy\mid x^{2}+y^{2}=1,\\ y\ge 0\},
percorrida de -1 para 1 (da esquerda para a direita).

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