Identifique e esboce os seguintes arcos.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva complexa
O que se pede: identificar que arco é esse (qual curva geométrica no plano complexo) e esboçá‑lo (ou seja, dizer onde fica e como traçá‑lo).
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A parte real é
. - A parte imaginária é
. - O parâmetro varia em
. - A raiz quadrada escolhida dá sempre o ramo não negativo, logo
.
Passo 2
Vamos escrever as partes real e imaginária explicitamente e ver uma relação entre elas. Definindo
temos para todo
Aqui uma explicação rápida do que fiz: para um número complexo
, o módulo é
. Mostrar que
significa que todos os pontos
têm módulo
, ou seja, pertencem ao círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
Como
para todo
, a curva fica na metade superior do círculo de raio
. Portanto a imagem é a semicircunferência superior do círculo unitário, isto é, o conjunto
Passo 4
Vamos ver os pontos finais e a orientação (para esboçar corretamente). Para
e
temos:
Assim a curva vai de
até
. À medida que
aumenta de
para
, percorre‑se a semicircunferência superior da esquerda para a direita (isto é, do ponto
até
).
Passo 5
Uma parametrização angular útil: escrevendo
com
, obtemos
Aqui atenção à orientação: ao substituir
com
o valor de
diminui quando
aumenta (porque
é decrescente em
). Então, em termos de
, os pontos vão de
(corresponde a
) até
(corresponde a
). Em outras palavras, a curva é a porção do círculo unitário dada por
com
variando de
a
.
Passo 6
Para ajudar no esboço, calcule alguns pontos simples (pegando
da expressão dada):
Esses pontos estão todos sobre o círculo de raio
e mostram claramente a forma da semicircunferência superior.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo, sem complicação):
- Desenha um sistema de eixos
(real) e (imaginário). - Desenha o círculo de raio
centrado na origem. - Marca os pontos
, e . - Traça a metade superior do círculo ligando
a passando por . - Se quiser indicar orientação, desenha uma seta da esquerda para a direita ao longo dessa semicircunferência (correspondente a
aumentando).
Resposta
A curva é a semicircunferência superior do círculo unitário centrado na origem, ou seja
,
percorrida de para
(da esquerda para a direita).
percorrida de