Calcule \int_{0}^{1} \int_{0}^{\operatorname{arccos} y} e^{\operatorname{sen} x} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\operatorname{arccos} y}e^{\sin x}\,dx\,dy.
O conteúdo principal aqui é troca de ordem de integração em integrais duplas e, em seguida, uma simples substituição.

Passo 2

Para trocar a ordem, primeiro descrevemos o domínio original:
0\le y\le1,\quad 0\le x\le \operatorname{arccos} y.
Isso significa que, olhando no plano xy, x varia de 0 até \pi/2 (pois \operatorname{arccos} y\le\arccos0=\pi/2) e, para cada x, y vai de 0 até \cos x. Logo podemos reescrever o domínio como
0\le x\le \pi/2,\quad 0\le y\le \cos x.

Passo 3

Agora trocamos a ordem de integração:
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\operatorname{arccos} y}e^{\sin x}\,dx\,dy =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\cos x}e^{\sin x}\,dy\,dx.
Integrando primeiro em y, temos
\int_{0}^{\cos x}e^{\sin x}\,dy =e^{\sin x}\,\bigl[y\bigr]_{0}^{\cos x} =e^{\sin x}\cos x.
Então a integral fica
\int_{0}^{\pi/2}e^{\sin x}\cos x\,dx.

Passo 4

Fazemos a substituição clássica
u=\sin x,\quad du=\cos x\,dx,
com x=0\mapsto u=0 e x=\pi/2\mapsto u=1. A integral passa a ser
\int_{0}^{1}e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =e-1.

Resposta

e-1

Exercícios relacionados