Calcule o volume do sólido limitado por z=x^{2}, z=4-x^{2}, z=4-2 y, y=0.

Passo 1

O sólido é dado por z=x^{2} (paraboloide voltado para cima), z=4-x^{2} (paraboloide voltado para baixo), z=4-2y (plano inclinado na direção de y),
e y=0.
Para calcular o volume, vamos usar integrais triplas. Primeiro projetamos o sólido no plano xz e, em seguida, para cada (x,z) nesse projétil, encontramos a variação de y.

Passo 2

As interseções de z=x^{2} e z=4-x^{2} ocorrem quando
x^{2}=4-x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x\in[-\sqrt2,\sqrt2].
Para um certo (x,z) com x^{2}\le z\le4-x^{2}, o plano y=0 dá a fronteira inferior em y e o plano z=4-2y dá, isolando y,
y=\frac{4-z}{2}.
Logo, para cada x\in[-\sqrt2,\sqrt2] e z\in[x^{2},\,4-x^{2}], temos
0\le y\le\frac{4-z}{2}.

Passo 3

Montamos o volume como
V =\int_{x=-\sqrt2}^{\sqrt2} \int_{z=x^{2}}^{4-x^{2}} \int_{y=0}^{(4-z)/2} dy\,dz\,dx.
Integramos primeiro em y:
\int_{y=0}^{(4-z)/2} dy =\frac{4-z}{2}.
Assim
V =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \int_{x^{2}}^{4-x^{2}} \frac{4-z}{2}\,dz\,dx =\frac12 \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \int_{x^{2}}^{4-x^{2}} (4-z)\,dz\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em z:
\int_{z=x^{2}}^{4-x^{2}}(4-z)\,dz =\Bigl[4z-\tfrac12 z^{2}\Bigr]_{x^{2}}^{\,4-x^{2}} =8-4x^{2}.
Portanto
V =\frac12 \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \bigl(8-4x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(8-4x^{2})\,dx =8\cdot(2\sqrt2)-4\cdot\frac{4\sqrt2}{3} =16\sqrt2-\frac{16\sqrt2}{3} =\frac{32\sqrt2}{3}.
Logo
V =\frac12\;\frac{32\sqrt2}{3} =\frac{16\sqrt2}{3}.

Resposta

V=\frac{16\sqrt2}{3}.

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