Calcule o volume do sólido limitado no primeiro octante pelos planos 2 x+y+z=2, x=0, e dentro do cilindro y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0 delimitado pelo plano
2x + y + z = 2,
pela superfície cilíndrica
y^2 + z^2 = 1
e pelo plano x=0. Vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas e depois projetar no plano yz.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas o volume é
V = \iiint_{D} dV,
onde D é dado por
0 \le x \le \frac{2 - y - z}{2},\quad y^2 + z^2 \le 1,\quad y\ge0,\;z\ge0.
Aqui usamos a expressão de x obtida do plano 2x+y+z=2.

Passo 3

Integramos primeiro em x:
V = \iint_{R} \Bigl[\int_{x=0}^{(2-y-z)/2} dx\Bigr] dA_{yz} = \iint_{R} \frac{2 - y - z}{2}\;dA_{yz},
onde R é o quarto de círculo y^2+z^2\le1, y\ge0, z\ge0.

Passo 4

Para calcular
\iint_{R} \frac{2 - y - z}{2}\;dA_{yz}
passamos a coordenadas polares no plano yz:
y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta,\quad dA_{yz} = r\,dr\,d\theta,
com
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 5

O volume fica
V = \frac12 \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \bigl(2 - r\cos\theta - r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Expandindo o integrando:
2r - r^2\cos\theta - r^2\sin\theta.

Passo 6

Integramos em r:
\int_{0}^{1}(2r)\,dr = 1, \quad \int_{0}^{1}r^2\,dr = \tfrac{1}{3}.
Logo
V = \frac12 \int_{0}^{\pi/2}\!\Bigl[1 - \tfrac{1}{3}(\cos\theta + \sin\theta)\Bigr]d\theta.

Passo 7

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta = \frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = 1, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = 1.
Assim
V = \frac12\Bigl(\frac{\pi}{2} - \tfrac{1}{3}\cdot2\Bigr) = \frac12\Bigl(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}\Bigr) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}.

Resposta

V = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}.

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