Calcule o volume do sólido limitado no primeiro octante pelos planos
,
, e dentro do cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante
,
,
delimitado pelo plano
pela superfície cilíndrica
e pelo plano
. Vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas e depois projetar no plano
.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas o volume é
onde
é dado por
Aqui usamos a expressão de
obtida do plano
.
Passo 3
Integramos primeiro em
:
onde
é o quarto de círculo
,
,
.
Passo 4
Para calcular
passamos a coordenadas polares no plano
:
com
Passo 5
O volume fica
Expandindo o integrando:
Passo 6
Integramos em
:
Logo
Passo 7
Agora integramos em
:
Assim