Integrais
I=\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{16-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois vemos uma função no numerador cuja derivada aparece dentro da raiz no denominador.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = 16 - x^{2},
de modo que
du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Além disso, os limites em x se transformam em: quando x=0, u=16; quando x=4, u=0.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
I = \int_{x=0}^{x=4} \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\,dx = \int_{u=16}^{u=0} \frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac{1}{2}\int_{16}^{0} u^{-\tfrac12}\,du.
Invertemos os limites para ficar em ordem crescente, o que muda o sinal:
I = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{16} u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}.
Logo
I = \tfrac{1}{2}\bigl[2\,u^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{16} = \bigl[u^{\tfrac12}\bigr]_{0}^{16} = \sqrt{16} - \sqrt{0} = 4.

Resposta

4

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