Integrais
I=\int_{-1}^{8} \frac{1}{\sqrt{x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = \int_{-1}^{8} \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx.
Note que em x=-1 o denominador fica zero, então precisamos tratar como integral imprópria usando limite.

Passo 2

Vamos achar a primitiva de \frac{1}{\sqrt{x+1}}. Faça a substituição
u = x+1,\quad du = dx.
Então
\int \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx = \int u^{-1/2}\,du = 2\,u^{1/2} + C = 2\sqrt{x+1} + C.

Passo 3

Agora avaliamos o integral pelo método de limite:
I = \lim_{a \to -1^+} \int_{a}^{8} \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx = \lim_{a \to -1^+} \Bigl[2\sqrt{x+1}\Bigr]_{x=a}^{x=8} = \lim_{a \to -1^+} \bigl(2\sqrt{9} - 2\sqrt{a+1}\bigr).
Como \sqrt{9}=3 e \sqrt{a+1}\to0 quando a\to -1^+, resulta
I = 2\cdot3 - 0 = 6.

Passo 4

Concluímos que a integral converge e seu valor é 6.

Resposta

6

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