Calcule.
\int \operatorname{sec} ^{3}\left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx. O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar uma substituição para simplificar o argumento seguido de integração por partes para resolver \int \operatorname{sec}^{3}u\,du.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \frac{x}{2}, \quad du = \frac12\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = 2\,du,
temos
\int \operatorname{sec}^{3}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = 2 \int \operatorname{sec}^{3}u\,du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}u\,du, escrevemos \operatorname{sec}^{3}u = \operatorname{sec} u\cdot\operatorname{sec}^{2}u
e aplicamos integração por partes tomando
v = \operatorname{sec} u, \quad dw = \operatorname{sec}^{2}u\,du
dv = \operatorname{sec} u\tan u\,du, \quad w = \tan u.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du = \operatorname{sec} u\tan u \;-\; \int \tan u\;\bigl(\operatorname{sec} u\tan u\bigr)\,du.

Passo 4

Como \tan^{2}u = \operatorname{sec}^{2}u - 1, segue
\int \operatorname{sec}^{3}u\,du = \operatorname{sec} u\tan u - \int \operatorname{sec} u\bigl(\operatorname{sec}^{2}u - 1\bigr)\,du = \operatorname{sec} u\tan u - \int \operatorname{sec}^{3}u\,du + \int \operatorname{sec} u\,du.
Reagrupando o termo \int \operatorname{sec}^{3}u\,du e usando \int \operatorname{sec} u\,du = \ln\!\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr|, obtemos
2\int \operatorname{sec}^{3}u\,du = \operatorname{sec} u\tan u + \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr|
\Rightarrow\quad \int \operatorname{sec}^{3}u\,du = \tfrac12\Bigl(\operatorname{sec} u\tan u + \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr|\Bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável x e multiplicando por 2 (devido ao Passo 2),
\int \operatorname{sec}^{3}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = 2\int \operatorname{sec}^{3}u\,du = \operatorname{sec} u\tan u + \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C \quad\text{com }u=\tfrac{x}{2}.

Resposta

\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \;+\;\ln\Bigl|\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) +\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr|+C.

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