Calcule. \int \operatorname{sec} ^{3}\left(\frac{x}{2}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx. O conteúdo envolvido é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar uma substituição para simplificar o argumento seguido de integração por partes para resolver \int \operatorname{sec}^{3}u\,du.
Passo 2
Fazendo a substituição
u = \frac{x}{2}, \quad du = \frac12\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = 2\,du,
Para calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}u\,du, escrevemos \operatorname{sec}^{3}u = \operatorname{sec} u\cdot\operatorname{sec}^{2}u
e aplicamos integração por partes tomando
v = \operatorname{sec} u, \quad dw = \operatorname{sec}^{2}u\,du
dv = \operatorname{sec} u\tan u\,du, \quad w = \tan u.